sistem persamaan linear dan matriks

BAB I

SISTEM PERSAMAAN LINIER (SPL)

DAN MATRIKS

1.1 PENGANTAR

SPL adalah suatu himpunan berhingga dari persamaan yang peubahnya berpangkat satu, bukan merupakan hasil kali atau akar peubah dan bukan sebagai argument fungsi trigonometri, fungsi logaritma atau fungsi eksponensial.

Bentuk Umum :

a₁₁x₁ + a₁₂x₁ + a₁₃x₁ + ……………………..+ a_1nx_n = b₁

a₂₁x₃ + a₂₂x₂ + a₂₃x₂ + ……………………..+ a_2nx_n = b₂

a₃₁x₃ + a₃₂x₃ + a₃₃x₃ +……………………...+ a_3nx_n = b₃

…………………………………………………………

a_m1x₁ + a_m2x₂ + a_m3x₃ + ……………………+ a_mnx_n = b_m ...…..(1)

Contoh 1.1 :

a₁x + b₁y = c₁

a₂x + b₂y = c₂

Penyelesaian :

Secara geometri untuk contoh 1.1 diatas ada 3 kemungkinan :

a₁x + b₁y = c₁ (l₁)

a₂x + b₂y = c₂ (l₂)

· Garis l₁ sejajar l₂ , artinya tidak mempunyai titik potong, sehingga SPL tersebut tidak mempunyai penyelesian.

· Garis l₁ berpotongan dengan l₂ , artinya SPL tersebut mempunyai satu penyelesaian.

· Garis l₁ berimpit dengan l₂, artinya SPL tersebut mempunyai banyak penyelesaian.

Tidak setiap SPL mempunyai penyelesaian, sehingga SPL yang tidak mempunyai penyelesaian disebut tak konsisten (in consistent). Sedangkan SPL yang mempunyai penyelesaian disebut konsisten.

Contoh 1.2 :

a₁x₁ + a₂x₂ + ………………+ a_nx_n = b

maka penyelesaiannya adalah :

sedemikian sehingga jika nilai tsb dimasukkan ke persamaan di penuhi ( = b )

HP = {s₁, s₂, s₃,…………..s_n }

Untuk menyelesaikan SPL dari bentuk umum terlebih dahulu diubah kebentuk matriks yang diperbesar atau (Augmented Matriks).

………………..(2)

Kemudian baru dilakukan Operasi Baris Elementer (OBE) yang akan memberikan himpunan Penyelesaian (HP) yang sama terhadap SPL dari bentuk umum.

Adapun Operasi Baris Elementer adalah sebagai berikut :

1. Kalikan sebuah baris dengan sebuah konstanta yang tidak sama dengan nol (0).

2. Pertukarkanlah dua baris tersebut.

3. Tambahkanlah perkalian dari satu baris pada baris yang lainnya.

1.2 ELIMINASI GAUSS

Contoh 1.3 :

Selesaikan SPL dengan metode Eliminasi Gauss : x + y + 2z = 9

2x + 4y -3z = 1

3x + 6 y – 5z = 0

J a w a b :

SPL tersebut diubah menjadi matriks yang diperbesar

Ubahlah matriks yang diperbesar tadi menjadi bentuk eselon baris yaitu dengan mengubah elemen-elemen di bawah diagonal utama menjadi nol semuanya.

Adapun langkah-langkah untuk mengenolkan elemen-elemen di bawah diagonal utama adalah sbb :

1. Pilih salah satu baris yang tidak nol semuanya.

2. Pilih satu elemen dari baris tersebut menjadi satu utama (pivot), jika ada ambil yang elemennya sama dengan satu (1).

3. Jadikan nol semua elemen yang sekolom dengansatu utama tadi dengan operasi Baris Elementer (OBE).

4. Untuk baris sisanya dilakukan OBE sampai diperoleh elemen nol semuanya.

Sehingga penyelesaian contoh diatas adalah sbb :

Matriks diatas, jika dikembalikan ke bentuk sisitem persamaan linier, adalah sbb :

x + y + 2z = 9 ……………….(1)

y – 7/2z = - 17/2 ……………..(2)

z = 3 …………………………..(3)

Sehingga penyelesaian dari SPL adalah :

· Dari persamaan III , z = 3

· Dari persamaan II, y = 2

· Dari persamaan I, x = 1

Jadi HP = { 1, 2, 3 }

Keterangan :

Sistem Persamaan Linier (SPL) pada contoh diatas adalah SPL yang mempunyai satu penyelesaian, dimana banyaknya persamaan dan banyaknya peubah adalah sama yaitu 3.

Apabila SPL pada contoh diatas akan diselesikan dengan metode Eliminasi Gauss-Jordan, maka berarti kita akan mengubah matriks yang diperbesar menjadi bentuk eselon baris tereduksi yaitu mengubah elemen-elemen dibawah diagonal utam dan diatas diagonal utama menjadi nol semua, yang berarti kita akan melanjutkan Operasi Baris Elementer (OBE) terhadap matriks (3).

Jadi jika dikembalikan pada SPL diperoleh :

Contoh 1.4 :

Selesaikan Sistem Persamaan Linier berikut : x₁ + 4x₄ = -1

x₂ + 2x₄ = 6

x₃ + 3x₄ = 2

J a w a b :

SPL diubah ke bentuk Augmented matriks (matriks yang diperbesar)

Dari matriks di atas nampak bahwa x₁, x₂, x₃, sudah sesuai dengan satu utama dan dinamakan peubah-peubah utama (Leading Variabel), sehingga dengan menyelesaikan peubah-peubah utama dalam x₄ akan diperoleh penyelesaian sbb :

sehingga, X = { x₁, x₂, x₃, x₄ } dengan t = sembarang bilangan

Jadi HP = {-1 – 4t, 6 – 2t, 2 – 3t, t }

Contoh 1.5 :

Selesaikan Sistem Persamaan Linier berikut : x₁ + 6x₂ + 4x₅ = -2

x₃ + 3x₅ = 1

x₄ + 5x₅ = 2

J a w a b :

Matriks diperbesarnya adalah :

Dari matriks di atas nampak bahwa x₁, x₃, x₄ adalah merupakan peubah-peubah utama, sehingga dengan menyelesaikan peubah-peubah utama dalam peubah-peubah lainnya diperoleh penyelesaian sebagai berikut :

Dengan mengambil x₂ = t, x₅ = s; dengan t, s = sembarang bil.

maka, x₁ = -2 – 6t – 4s

x₃ = 1 – 3s

x₄ = 2 – 5s

sehingga, X = {x₁, x₂, x₃, x₄} = {-2 – 6t – 4s, t, 1 – 3s, 2 – 5s, s}

Sehingga HP = { -2 – 6t – 4s, t, 1 – 3s, 2 – 5s, s }

Contoh 1.6 :

Selesaikan Sistem Persamaan Linier berikut : x₁ + 0x₂ + 0x₃ = 0

0x₁ + x₂ + 2x₃ = 0

0x₁ – x₂ – 2x₃ = 1

J a w a b :

Matriks diperbesarnya adalah :

Karena belum nampak peubah utamanya maka dengan Operasi Baris Elementer (OBE), matriks diatas diubah menjadi :

Dari matriks diatas nampak bahwa baris III, 0x₁ + 0x₂ + 0x₃ = 1, tidak pernah dapat diperoleh untuk harga x yang manapun. Sehingga sisitem persaman linier diatas tidak mempunyai penyelesaian.

1.3 SPL HOMOGEN

SPL dikatakan homogen jika suku konstanta sama dengan nol (0), yaitu berbentuk :

SPL homogen adalah system yang konsisten karena selalu mempunyai penyelesaian untuk x₁ = 0, x₂ = 0, x₃ = 0,…,x_n = 0.

· Dan penyelesaian tersebut disebut penyelesaian trivial.

· Jika ada penyelesaian yang lain maka disebut penyelesaian non trivial.

· Pada SPL jika banyaknya peubah (n) lebih banyak dari banyaknya persamaan (m) maka pasti mempunyai banyak penyelesaian.

Contoh 1.7 :

Selesaikan SPL homogen berikut dengan metode Gauss-Jordan.

2x₁ + 2x₂ – x₄ + x₅ = 0

-x₁ – x₂ + 2x₃ – 3x₄ + x₅ = 0

x₁ + x₂ – 2x₃ – x₅ = 0

x₃ + x₄ + x₅ = 0

J a w a b :

Matriks yang diperbesar dari SPLH diatas adalah :

Melalui OBE, matriks yang diperbesar ini diubah menjadi matriks berbentuk eselon baris tereduksi sbb : B1 ditukar dengan B3

menjadi

menjadi

menjadi

Dari matriks ini maka SPLH yang bersesuaian adalah :

x₁ + x₂ – x₃ = 0

x₄ = 0

x₃ + x₅ = 0

Nampak bahwa peubah utamanya : x₁, x₄ dan x₅ , sehingga SPL menjadi :

x₁ = - x₂ + x₃

x₄ = 0

x₅ = -x₃

Jika dimisalkan untuk x₂ = s, dan X₃ = t maka diperoleh :

Sehingga : HP = { -s + t, s, t, 0, -t }

Jika diambil s = 1 dan t = 1 maka diperoleh himpunan penyelesaian (HP) nya :

HP = { 0, 1, 1, 0, -1 }

Jika HP nya dimasukkan ke persamaan-persamaan liniernya akan sama dengan nol.

1.4 MATRIKS DAN OPERASINYA

Beberapa pengertian tentang matrks adalah :

· Matriks adalah susunan segiempat siku-siku dari bilangan menurut baris dan kolom.

· Bilangan-bilangan dalam matriks dinamakan entry (elemen)

· Ukuran matriks dinyatakan oleh banyaknya baris dan kolom.

(i x j ) = A(i x j)

dengan , i = menyatakan banyaknya baris

j = menyatakan banyaknya kolom

Suatu matriks yang ukuran baris dan kolomnya sama (n) dinamakan matriks kuadrat berorde n, dan elemen-elemen seperti a₁₁, a₂₂, a₃₃, ……………..,a_ij disebut diagonal utama.

Adapun operasi-operasi pada matriks adalah sbb :

1. Dua matriks A dan B dapat dijumlahkan bila keduanya mempunyai ukuran yang sama dan hasilnya adalah dengan menjumlahkan masing-masing elemen yang bersesuaian.
2. Perkalian antara suatu scalar k dengan suatu matriks A adalah suatu matriks yang diperoleh dengan mengalikan masing-masing elemen dengan scalar tersebut.
3. Jika matriks A berukuran (mxr) dan Matriks B berukuran (rxn) maka hasil kali A dan B berukuran (mxn).

Adapun elemen-elemen ditentukan sebagai berikut :

Untuk mencari elemen baris i dan kolom j dari matriks (A,B), pilihlah baris I matriks A dan kolom j matriks B, kemudian kalikan elemen-elemen yang bersesuaian dari baris dan kolom tersebut lalu jumlahkan.

4. Transpose suatu matriks A_(mxn) adalah A^t (nxm) yaitu dengan mengganti baris ke-I pada matriks A menjadi kolom ke-I pada matriks A^t.

Contoh 1.8 :

Diketahui :

Tentukan :

a). A + C d). AC^t

b). 3B - 2C e). AC – 2B^t

c). AB – 2CB f). CB – 2A^t

J a w a b :

a).

b).

c).

d).

e).

f).

Beberapa pegertian sekitar matriks :

1. Suatu matriks yang semua elemennya nol disebut matriks nol, yaitu : M

2. Suatu matriks kuadrat In yang semua diagonal utamanya satu dan lainnya nol disebut

matriks satuan, yaitu I_(2x2)

3. Jika ada suatu matriks A dan B sedemikian sehingga AB = BA = I maka A dikatakan

dapat dibalik (Invertible) dan B dikatakan invers dari A (A^-1 = B) atau sebaliknya.

4. Invers suatu matriks adalah tunggal.

5. Jika A dan B adalah matriks-matriks yang dapat dibalik dan berukuran sama maka :

· A + B juga dapat dibalik

· (AB)^-1 = B^-1.A^-1

· A^-n = (A^-1)ⁿ = (Aⁿ)^-1

· (A^-1)^-1 = A

· (kA)^-1 = 1/k A^-1, k scalar tak nol.

Contoh 1.9 :

Buktikan B = adalah invers dari A=

B u k t i :

Jadi AB = BA = I (terbukti, bahwa B merupakan matriks invers A)

1.5 MATRIKS ELEMENTER

Suatu matriks A_(AxA) dikatakan matriks elementer jika matriks tersebut diperoleh dari matriks satuan I_(nxn) yaitu dengan melakukan OBE tunggal . Setiap matriks elementer dapat dibalik dan inversnya juga merupakan matriks elementer.

Contoh 1.10 :

1. Jika I₂ = maka A =

A dikatakan matriks elementer karena baris II matriks A diperoleh dari hasil kali (-3) baris II matriks I₂.

2. Jika B=

B juga merupakan matriks elementer karena baris I matriks B diperoleh dari hasil kali (3) dengan baris III matriks I₃.

Jika matriks elementer E adalah hasil dari OBE tertentu pada I_(mxm) kemudian ada matriks A_(mxn) maka hasil kali E.A= hasil OBE yang sama terhadap A.

Contoh 1.11 :

Buktikan EA = A, jika E suatu matriks elementer hasil dari OBE tertentu pada matriks I₃.

A= dan I₃=

J a w a b :

I₃ = B3 + 3(B1)

E = merupakan matriks elementer (E)

Jadi EA =

=

EA =

Matriks A dilakukan OBE diperoleh :

B3 + 3B1 menjadi

Jadi EA = A (terbukti)

Misalkan A_(nxn) ~ I_(nxn) sehingga dapat direduksi pada I_(nxn) dengan urutan berhingga dari operasi-operasi (OBE) yaitu :

E_k . E_k-1. E_k-2 ………………….E₃.E₂.E₁.A = I_(nxn) …………..(1)

Sehingga :

Oleh karena itu :

Dari persamaan (1) dan (2) artinya urutan operasi baris tereduksi matriks A terhadap I_n akan mereduksi I_n pada A^-1. Dengan perkataan lain bahwa untuk mencari invers matriks A yang dapat dibalik maka kita harus mencari urutan OBE tereduksi A pada matriks satuan I dan kemudian melakukan urutan operasi yang sama ini pada I untuk mendapatkan A^-1.

Jadi jika dibuat skema :

Contoh 1.12 :

Cari Invers

J a w a b :

menjadi

menjadi

Jadi invers matriks A adalah A^-1 =

1.6 PENGGUNAAN INVERS PADA SPL

Jika matriks A_(nxn) dapat dibalik, maka untuk setiap matriks B_(nx1) pada SPL Ax = B mempunyai tepat satu penyelesaian yaitu x = A^-1.B

Contoh 1.13 :

Selesikan SPL berikut : x₁ + 2x₂ + 3x₃ = 5

2x₁ + 5x₂ + 3x₃ = 3

x₁ + 8x₃ = 17

Penyelesaian SPL tersebut diubah menjadi : atau AX = B,

kemudian akan dicari sebagai berikut :

menjadi

menjadi

Jadi penyelesaian SPL : X = A^-1.B

jadi

SPL AX = B dimana A tidak dapat dibalik maka agar SPL tersebut konsisten, harus direduksi matriks diperbesar tersebut menjadi bentuk matriks eselon baris dengan cara OBE. Kemudian kita tentukan matriks B agar SPL konsisten.

Contoh 1.14 :

Tentukan b₁, b₂, b₃ agar SPL konsisten, jika : x₁ + x₂ + 2x₃ = b₁

x₁ + x₃ = b₂

2x₁ + x₂ + 3x₃ = b₃

J a w a b :

Penyelesaian SPL dalam matriks :

sehingga (A│B)

Jadi SPL akan konsisten jika : - b₁ – b₂ + b₃ = 0 atau

b₃ = b₁ + b₂

Lukisan yang terbesar adalah dunia yang kau hadapi. Pandanglah, nikmatilah dan milikilah, tetapi telitilah dengan kewaspadaan dan kebijaksanaan (Sunandoro)