determinan

BAB II

DETERMINAN

2.1 FUNGSI DETERMINAN

Permutasi himpunan bilangan-bilangan bulat {1, 2, 3,…,n} adalah susunan bilangan-bilangan bulat tersebut menurut aturan tertentu tanpa mengulangi bilangan-bilangan tersebut.

Contoh 2.1 :

Tentukan permutasi dari bilangan-bilangan bulat {1, 2, 3}

J a w a b :

Jadi permutasinya adalah 6

atau dengan rumus umum permutasi :

Secara umum banyaknya permutasi dari himpunan bilangan-bilangan { 1, 2, 3, ………., n } yang diambil secara keseluruhan adalah n!.

Jika (p₁, p₂, p₃…………..,p_n) adalah suatu permutasi maka invers permutasi tersebut adalah sebuah bilangan bulat yang lebih besar mendahului sebuah bilangan bulat yang lebih kecil.

· Jika jumlah invers seluruhnya genap maka permutasi tersebut dinamakan permutasi genap.

· Jika jumlah invers seluruhnya ganjil maka permutasi tersebut dinamakan permutasi ganjil.

Contoh 2.2 :

Tentukan nama permutasi dari himpunan bilangan-bilangan bulat { 1, 2, 3 }.

J a w a b :

Permutasi dari { 1, 2, 3 } adalah 6, yaitu :

	Permutasi	Invers	Nama
1.	( 1, 2, 3 )	0	Permutasi genap
2.	( 1, 3, 2 )	1	Permutasi ganjil
3.	( 2, 1, 3 )	1	Permutasi ganjil
4.	( 2, 3, 1 )	2	Permutasi genap
5.	( 3, 1, 2 )	2	Permutasi genap
6.	( 3, 2, 1 )	3	Permutasi ganjil

Ø Hasil kali elementer A adalah hasil kali elemen-elemen matriks A, dimana dua diantara factor-faktor tersebut tidak boleh berasal dari baris dan kolom yang sama.

Contoh 2.3 :

Daftarkanlah semua hasil kali elementer matriks berikut :

a). b).

Penyelesaian :

a). Karena matriks A berukuran (2x2) maka hasil kali elementernya terdiri atas dua (2)

factor dan kedua factor tersebut harus berasal dari baris dan kolom yang berbeda.

Adapun hasil kali elementer tersebut adalah :

1. a₁₁ dengan a₂₂ yaitu a₁₁ a₂₂

2. a₁₂ dengan a₂₁ yaitu a₁₂ a₂₁

3. a₂₁ dengan a₁₂ yaitu a₂₁ a₁₂ (sama dengan no. 2)

4. a₂₂ dengan a₁₁ yaitu a₂₂ a₁₁ (sama dengan no. 1)

Jadi hasil kali elementer matriks A adalah a₁₁ a₂₂ dan a₁₂.a₂₁

b). Karena matriks B berukuran (3x3) maka hasil kali elementernya terdiri atas 3 faktor

yaitu : 1. a₁₁, a₂₂, a₃₃

2. a₁₂, a₂₁, a₃₂

3. a₁₃, a₂₁, a₃₂

4. a₂₁, a₁₂, a₃₃ ( sama dengan no. 2 )

5. a₂₂, a₁₁, a₃₃ ( sama dengan no. 1 )

6 a₂₃, a₁₂, a₃₁

7. a₃₁, a₂₂, a₁₃

8. a₃₂, a₂₁, a₁₃ ( sama dengan no. 3 )

9. a₃₃, a₂₂, a₁₁ ( sama dengan no. 1 )

dst

Dan elemen matriknya ada 6 yaitu :

1. a₁₁ a₂₂ a₃₃ 4. a₁₂ a₂₃ a₃₁

2. a₁₁ a₂₃ a₃₂ 5. a₁₃ a₂₁ a₃₂

3. a₁₂ a₂₁ a₃₃ 6. a₁₃ a₂₂ a₃₁

Secara umum suatu matriks yang berukuran (nxn) akan mempunyai (n!) hasil kali elementer.

Dari kedua contoh diatas, karena factor-faktor harus berasal dari baris dan kolom yang berbeda maka jika nomer baris sudah kita tentukan, nomer kolomnya adalah merupakan permutasi himpunan bilangan bulat {1, 2, 3, …………, n} sesuai dengan ukuran matriks tersebut.

Hasil kali elementer bertanda dari matriks A adalah hasil kali elementer matriks A dan bertanda positif jika permutasi nomor kolomnya genap serta bertanda negatif jika permutasi nomor kolomnya ganjil.

Contoh 2.4 :

Dafarkanlah semua hasil kali elementer bertanda dari matriks-matriks nomor a). dan b). diatas.

J a w a b :

a).

Hasil kali elementer	Permutasi kolom	Jumlah Invers	Nama Permutasi	Hasil kali elementer bertanda
a11 . a22	( 1, 2 )	0	Genap	+ a11 . a22
a12 . a21	( 2, 1 )	1	ganjil	- a12 . a21

b).

Hasil kali elementer	Permutasi kolom	Jumlah Invers	Nama Permutasi	Hasil kali elementer bertanda
a11 a22 a­33	( 1, 2, 3 )	0	Genap	+ a11 a22 a33
a11 a23 a32	( 1, 3, 2 )	1	Ganjil	- a11 a23 a32
a12 a21 a33	( 2, 1, 3 )	1	Ganjil	- a12 a21 a33
a12 a23. a31	( 2, 3, 1 )	2	Genap	+ a12 a23 a31
a13 a21 a32	( 3, 1, 2 )	2	Genap	+ a13 a21 a32
a13 a22 a31	( 3, 2, 1 )	3	Ganjil	- a13 a22 a31

Determinan A yang biasa ditulis dengan det (A) adalah jumlah semua hasil kali elementer bertanda dari suatu matriks A.

Contoh 2.5 :

Tentukan determinan matriks berikut :

a). b).

J a w a b :

a. det (A) = (+ a₁₁ a₂₂) + (- a₂₁ a₁₂ )

b. det (B) = a₁₁ a₂₂ a₃₃ + a₁₂ a₂₃ a₃₁ + a₁₃ a₂₁ a₃₂ + (-a₁₃ a₂₂ a₃₁) + (-a₁₁ a₂₃ a₂₂) +

(-a₁₂ a₂₁ a₃₃)

Contoh 2.6 :

Tentukan determinan matriks berikut :

a). b).

J a w a b :

a). det (A) = ( 1.0.6 + 0.-1.2 + 3.4.8 ) – ( 2.0.3 + 8.-1.1 + 6.4.0 )

= ( 0 + 0 + 96 ) – ( 0 – 8 + 0 )

= 96 + 8

= 104

b). det (B) = ( k.4.3 + (-3)(k+1).1+ 9.2.k² ) – ( 1.4. 9 + k².(k+1).k + 3.2. (-3) )

= (12k – 3k – 3 + 18k² ) – ( 36 + k⁴ +k³ – 18 )

= -k⁴ – k³ + 18k² + 9k – 21.

2.2 MENGHITUNG DETERMINAN DENGAN REDUKSI BARIS

Untuk melakukan perhitungan determinan, perhatikan langkah-langkah beruikut :

1. Jika A adalah suatu matriks kuadrat yang mengandung sebaris elemen nol maka det (A) = 0.
2. Jika A adalah matriks segitiga yang berukuran (nxn) maka det (A) = a₁₁, a₂₂, a₃₃,………..,a_nn­ (elemen diagonal utama ).
3. Jika B adalah suatu matriks yang dihasilkan bila salah satu baris matriks A dikalikan dengan konstanta k maka det (B) = k. det (A).
4. Jika B adalah matriks yang dihasilkan bila dua baris pada matriks A dipertukarkan maka det (B) = - det (A).
5. Jika B adalah suatu matriks yang dihasilkan bila salah satu baris pada matriks A ditambah dengan (k) kali baris lainnya maka det (B) = det (A).

Contoh 2.7 :

Hitung determinan matriks berikut :

J a w a b :

det (A) = 2 . 1. 3 = 6

det (B) = k . det (A) = 3 . 6 = 18

det (C) = - det (A) = -6

det (D) = det (A) = 6

Dengan OBE maka suatu matriks dapat direduksi menjadi bentuk eselon baris. Dan determinan matriks sebelum dan sesudah direduksi adalah sama (nol).

Contoh 2.8 :

Hitung det (A) jika :

J a w a b :

2.3 SIFAT-SIFAT DETERMINAN

1. Jika A adalah suatu matriks kuadrat maka det (A) = det (A^t).
2. Jika A suatu matriks berukuran (nxn) dan setiap baris dalam A mempunyai factor bersama sebesar k maka det ( kA) = kⁿ det (A).
3. det (A+B) biasanya ≠ det (A) + det (B).
4. Jika A, B, C adalah matriks kuadrat yang berukuran sama dengan

maka det (A) + det (B) = det (C)

catatan : * Pada A, B, C hanya berbeda pada satu baris saja.

* Berlaku pula untuk sembarang ukuran matriks kuadrat.

5. Jika A dan B adalah matriks kuadrat yang ukurannya sama maka det (A.B) = det (A) . det (B).
6. Suatu matriks kuadrat A dapat di balik jika dan hanya jika det (A) ≠ 0.
7. Jika matriks kuadrat A dapat dibalik maka :

Contoh 2.9 :

Tentukan :

1. det (A) dan det (B)
2. det (C^t) dan det (D^t)
3. det (3A) dan det (5B)
4. det (A+B)
5. Apakah det (3C) = 3² det (C)
6. Apakah det (A+D) = det (A) + det (D)
7. Apakah det (D) = det (B) + det (C)
8. Apakah det (CD) = det (C) . det (D)
9. Tentukan det (E) dan det (F)

J a w a b :

1. det (A) = = 3.2 – 2.1 = 6 – 2 =4

det (B) == 1.5 + 2.3 = 5 + 6 = 11

2. det (C^t) = =1.5 – 3.2 = 5 – 6 = -1

det (D^t) ==2.5 – 0.2 = 10 – 0 = 10

3. det (3A) = 3² det (A) = 9.4 = 36

det (5B) = 5² det (B) = 25.11 = 275

4. det (A+B) = =4.7 + 2.4 = 36
5. det (3C) = 3² det (C)

6. det (A + D) = det (A) + det (D)

7. det (D) = det (B) + det (C)

10 = 11 + (-1)

10 = 10 (sama)

8. det ( CD ) = det (C) . det (D)

9. 

= 0, karena kolom I dan III berkelipatan.

2.4 EKSPANSI KOFAKTOR

Definisi 2.1 :

Jika A adalah matriks kuadrat maka :

1. Minor entri a_ij adalah determinan sub matriks yang tetap setelah baris ke-I dan kolom ke j dihapus dari A, dan dinyatakan dengan M_ij.

2. Kofaktor entri a_ij adalah C_ij = (-1)^i+jM_ij.

Contoh 2.10 :

Tentukan M₁₂, M₂₂, M₃₁, dan C₁₂, C₂₂, C₃₁

J a w a b :

Determinan matriks A yang berukuran n x n dapat dihitung dengan mengalikan entri-entri dalam suatu baris atau kolom dengan kofaktor-kofaktornya dan menambah hasil kali-hasil kali yang diperolehnya.

det (A) = a_ij c_ij + a_2j c_2j + a_3j c_3j +……….+a_nj c_nj , ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke-j

det (A) = a_i1 c_i1 + a_i2 c_i2 + a_i3 c_i3 +……..+ a_in c_in , ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke-i.

Contoh 2.11 :

Hitung det (A) dengan ekspansi kofaktor sepanjang

a. Baris II b. Kolom III

J a w a b :

a.

= 2 (- 2 - 0) – 4 ( - 6 – 0 ) – 3 ( 12 – 5 )

= -4 + 24 – 21 = -1

b. det (A) =

= -3 ( 12 – 5 ) – 2 ( -12 + 2 )

= -3 (7) – 2 (-10) = -1

Definisi 2.2 :

Jika A adalah matriks berukuran (nxn) dan c_ij adalah kofaktor a_ij maka matriks :

dinamakan matriks kofaktor A

Definisi 2.3 :

Transfos matriks kofaktor A dinamakan matriks adjoint A = adj (A)

Contoh 2.12 :

Tentukan matriks kofaktor A dan adj (A), jika diketahui matriks

J a w a b :

C₁₁ = + ( 8 – 12 ) = - 4 C₂₂ = - ( 9 – 0 ) = -9

C₂₁ = - (-2 – 0 ) = 2 C₁₃ = + (- 8 + 20 ) = 12

C₃₁ = + ( 3 – 0 ) = 3 C₂₃ = - ( 12 – 5 ) = -7

C₂₂ = + ( - 6 – 0 ) = -6 C₃₃ = + ( -12 + 12 ) = -10

Kofaktor A=sehingga adj A=

Definisi 2.4 :

Jika A adalah matrika yang mempunyai invers maka :

Contoh 2. 13 :

Tentukan invers metrics pada contoh 2.12 diatas.

2.5 ATURAN CRAMER

Jika AX = B adalah system persamaan linier dengan n persamaan dan m bilangan tak diketahui sedemikian sehingga det (A) ≠ 0, maka SPL tersebut mempunyai penyelesaian unik (tunggal) yaitu :

dimana :

1. x₁, x₂, x₃,………………,x_n adalah variable yang tidak diketahui.

2. A₁, A₂, A₃,…………….,A_n adalah matriks A yang entri-entri dalam kolom ke j diganti dengan entri-entri dalam matriks B.

Contoh 2.14 :

Selesaikan SPL berikut dengan metode aturan Cramer

3x₁ + x₂ = 6

-2x₁ + 4x₂ + 3x­₃ = -20

5x₁ + 4x₂ – 2x₃ = 21

Penyelesaiannya :

det (A) = -1

det (A₁) = 6 ( 8 – 12 ) – 1 ( 40 – 63 ) = - 24 + 23 = -1

det (A₂) = 3 ( 40 – 63 ) – 6 ( 4 – 15 ) = - 69 + 66 = -3

det (A₃) = 3 ( - 84 + 80 ) – ( -2 ) ( 21 – 24 ) + 5 ( - 20 + 24 )

= 3 ( - 84 + 80 ) – ( -2 ) ( 21 – 24 ) + 5 ( - 20 + 24 )

= 3. -4 + 2. -3 + 5.4 = 2

Jadi

Adalah suatu kesalahan untuk membiarkan hidup ini menjadi rumit.

Kehidupan sebenarnya sangatlah sederhana dan hanya dengan

memikirkannya secara positip, dapat dikuasai (Feather)