Ruang-ruang Vektor

III. RUANG-RUANG VEKTOR

3.1 RUANG n EUCLIDES

Definisi 3.1 :

Jika n adalah bilangan bulat positif maka tupel n terorde adalah sebuah urutan bilangan

real. (a₁, a₂, a_3,…….., a_n)

Himpunan tapel n terorde dinamakan ruang n dan dinyatakan dengan Rⁿ. Tupel n terorde (a₁, a₂, a₃, ……….,a_n) dapat dipandang sebagai :

1. Titik dalam satu ruang Rⁿ
2. Vektor yang di generalisasi

Contoh 3.1 :

Dalam R³, P (x₁, x₂, x₃) dinyatakan sebagai titik dan sebagai vektor

Definisi 3.2 :

Dua Vektor u = ( u₁, u₂, u₃, …….., u_n) dan v = ( v₁, v₂, v₃, …….,v_n) pada Rⁿ

dikatakan :

1. Sama jika u₁ = v₁, u₂ = v_2, …………, u_n = v_n

2. Merupakan jumlahan : u + v = (u₁ + v₁, u₂ + v₂, ………, u_n + v_n)

3. Merupakan perkalian scalar ku = (ku₁, ku₂, ku₃, ………, ku_n)

4. Invers penjumlahan –u = (-u₁, -u₂, -u₃, ……..,-u_n)

5. Vektor nol , 0 = ( 0, 0, 0, …………,0)

Theorema 3.1 :

Jika u = (u₁, u₂, u₃, …………,u_n)

v = (v₁, v₂, v₃, …………,v_n)

w = (w₁, w₂, w₃, ……….,w_n)

adalah vector-vektor dalam Rⁿ dan k serta l scalar-skalar maka :

1. u + v = v + u

2. u + (v + w) = (u + v) + w

3. u + 0 = 0 + u = u

4. u + (-u) = 0

5. k (l u) = (kl) u

6. k ( u + v) = ku + kv

7. (k + l ) u = ku + lu

8. iu = u

Definisi 3.3 :

Jika u = (u₁, u₂, u₃, …………,u_n)

v = (v₁, v₂, v₃, …………,v_n)

adalah sembarang vector pada Rⁿ maka hasil kali dalam Euclides (euclidean inner

product) : u.v didefinisikan sebagai berikut :

u.v = u₁v₁ + u₂v₂ + u₃v₃ + …………….+ u_nv_n

Theorema 3.2 :

Jika u, v, w adalah vector-vektor pada Rⁿ dan k sembarang scalar, maka :

1. u . v = v . u

2. (u + v).w = uw + vw

3. (ku).w = k (uw)

4. u.u >= 0

5. u.u = 0, bhb u = 0

Definisi 3.4 :

Jika u = (u₁, u₂, u₃, …………,u_n) dan v = (v₁, v₂, v₃, …………,v_n) pada Rⁿ maka :

1. Norma (panjang) Euclidis vector u adalah

2. Jarak Euclidis titik u dan v adalah

Contoh 3.2 :

Jika u = (2, 0, -1, 3) ; v = (5, 4, 7, -1) ; w = (6, 2, 0, 9)

Tentukan : a). v – (u+w)

b). x sehingga 2u – v + x = 7x + w

J a w a b :

a). v – (u+v) = ( 5, 4, 7, -1) - {(2, 0, -1, 3) + (6, 2, 0, 9)}

= (5, 4, 7, -1 ) – (8, 2, -1, 12)

= (-3, 2, 8, 12)

b). x sehingga, 2u – v + x = 7x + w

2u – v + x = 7x + w

2(2, 0, -1, 3) – (5, 4, 7, -1, 3) + x = 7x + (6, 2, 0, 9)

(4, 0, -2, 6) – (5, 4, 7,-1) = 6x + (6, 2, 0, 9)

(-1, -4, -9, 7) – (6, 2, 0, 9) = 6x

(-7, -6, -9, -2) = 6x

Contoh 3.3 :

Hitunglah norma Euclidis v bila : a). v = ( 1, -1, 3) ;

b). v = ( 2, 0, 3, -1)

J a w a b :

a). =

b).

Contoh 3.4 :

Carilah hasil kali dalam Euclidis u.v bila : a). u = ( 3, 7, 1) ; v = ( -1, 0, 2)

b). u = (1, -1, 2, 3) ; v = ( 3, 3, -6, 0)

J a w a b :

a). u.v = (3, 7, 1).(-1, 0, 2)

= (3.-1 + 7.0 + 1.2)

= -3 + 0 + 2

= -1

b). u.v = (1, -1, 2, 3)(3, 3, -6, 4)

= (1.3 + (-1).3 + 2.-6 + 3.4)

= 3 – 3 – 12 + 12

= 0

Contoh 3.5 :

Carilah jarak Euclidis u dan v bila : a). u = ( 1, 1, -1) ; v = ( 2, 6, 0)

b). u = (2, 0, 1, 3) ; v = ( -1, 4, 6, 6)

J a w a b :

Contoh 3.6 :

Carilah dua vector pada R² dengan norma Euclidis 1 yang hasil kali dalam Euclidisnya

(-2,4) sama dengan 0 (nol).

J a w a b :

Misal : u = (u₁, u₂) , v = (v₁, v₂) dan w = (-2, 4) , maka

Dari, u.w = 0

(u₁, u₂) . (-2, 4) = 0

-2u₁ + 4u₂ = 0 ……………(3)

Dari, v.w = 0

(v₁, v₂) . (-2,4) = 0

(-2v₁ + 4v₂) = 0 …………….(4)

Dari persamaan (3) : -2u₁ + 4u₂ = 0 à u₂ = 2/4 u₁ atau u₁ = 2u₂ ………….(5)

Dari persamaan (4) : -2v₁ + 4v₂ = 0 à v₂ = 2/4 v₁ atau v₁ = 2v₂ …………(6)

Jika persamaan (5) masuk ke persamaan (1) :

Karena u₁ = v₁ dan u₂ = v₂ maka

3.2 RUANG VEKTOR UMUM

Definisi 3.5 :

Pandang suatu himpunan v dan berlaku operasi penjumlahan dan pergandaan maka v disebut ruang vector, bila memenuhi aksioma-aksioma sebagai berikut :

Terhadap Operasi Penjumlahan :

1. Tertutup , a,b Є v, a + b Є v

2. Assosiatif, a, b, c Є v, (a + b) + c = a + (b + c)

3. Ada elemen identitas,

4. setiap elemen mempunyai invers

5. Komutatif

Terhadap Operasi Pergandaan

6. " a Î V dan k scalar, maka : k a Î V

7. " a, b Î V dan k scalar, maka : k (a + b) = ka + kb

8. " a Î V dan k, l scalar, maka : (k + l) a = ka + la

9. " a Î V dan k, l scalar, maka : k (la) = (kl) a

10. ada elemen identitas, $ 1 Î V, sedemikian sehingga " a Î V berlaku : 1.a = a

Definisi 3.6 :

Sub himpunan w dari sebuah ruang vector v disebut sub ruang v jika w itu sendiri adalah suatu ruang vector dengan operasi penjumlahan dan pergandaan seperti pada v.

Theorema 3.3 :

Jika w adalah himpunan dari satu atau lebih vector dari sebuah ruang vector v maka w adalah sub ruang dari v bila dan hanya bila berlaku :

1. Jika u,v Є w maka u + v Є w

2. Jika k sembarang scalar dan u Є w maka ku Є w

Contoh 3.7 :

M adalah himpunan semua matrik berordo 2 x 2

W adalah himpunan matrik berordo 2 x 2 tetapi diagonal utamanya nol (0).

Buktikan w adalah sub ruang M.

J a w a b :

Misal : , k sembarang scalar

Dari 1). dan 2). diatas maka w sub ruang M.

Definisi 3.7 :

Sebuah vector w disebut kombinasi linier dari vector-vektor v₁, v₂, v₃, ………, v_n. Jika vector tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk w = k₁v₁ + k₂v₂ + ………+k_nv_n.

dengan k₁, k₂, ………, k_n adalah scalar.

Contoh 3.8 :

Buktikanlah bahwa p = (3, 3, 3) merupakan kombinasi linier dari u = (1, -1, 3) dan

v = (2, 4, 0) tetapi tidak untuk a = (1, 5, 6).

J a w a b :

Bukti : p = k₁u + k₂v

dari persamaan (3), maka : 3 = 3k₁ → k₁ = 1

dari persaman (1), maka : 3 = k₁ + 2k₂

= 1 + 2k₂

2 = 2k₂ à k₂ = 1

Jadi p = k₁u + k₂v

= 1.u + 1.v

p = u + v ( Terbukti)

q = k₁u + k₂v

Dari persamaan (3), maka diperoleh : 3k₁ = 6 → k₁ = 2

Dari persamaan (1), maka diperoleh : k₁ + 2k₂ = 1

2 + 2k₂ = 1 à 2k₂ = -1 à k₂ = -1/2

karena k₁ = 2 dan k₂ = -1/2 tidak memenuhi persamaan 2 yaitu : -k₁ + 4k₂ = 5 maka

q tidak sama dengan 2u – ½ v sehingga q bukan kombinasi linier dari u dan v.

Definisi 3.8 :

Suatu vector-vetor {v₁, v₂, …………,v_n}disebut merentang /membangun ruang vector w jika untuk setiap vector x Є w dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari {v₁, v₂, ………….,v_n}

Contoh 3.9 :

1). Buktikan vector-vektor I = (1,0,0), j = (0,1,0), k = (0, 0,1) merentang R³.

2). Apakah vector a =(1, 1, 1), b = (2, 2, 0), dan c = (3, 0, 0) merentang R³.

J a w a b :

1). Misal x = (x₁, x₂, x₃) Є R³ sehingga akan dibuktikan x = k₁i + k₂j + k₃k

Jadi semua vector di R³ dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear i, j, k; sehingga i, j, k membangun R³.

2). Misal x = (x₁, x₂, x₃) Є R³ maka apakah x merupakan kombinasi linier a, b dan c ?

sehingga akan dibuktikan x = k_1­a + k₂b + k₃c.

Dari persamaan (3) diperoleh k₁= x₃

Dari persamaan (2) dan (3) diperoleh : k₁ + 2k₂ = x₂

x₃ + 2 k₂ = x₂

2k₂ = x₂ – x₃ à k₂ = x₂ – x₃/2

Dari persamaan (3) dan (4) ke persamaan (1), maka diperoleh :

Jadi semua vector di R³ dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier a, b, c sehingga a, b, c merentang R³.

3.3 KEBEBASAN LINIER

Definisi 3.10 :

Jika S = {v₁, v₂, v₃, ……………,v_n}adalah himpunan vector sedemikian sehingga,

k₁v₁ + k₂v₂ ………………+ k_nv_n = 0 maka S = {v₁, v₂, v₃…………..,v_n} disebut :

1. Bebas linier apabila scalar-skalar k₁, k₂, …………..,k_n semuanya nol.
2. Bergantung linier apabila scalar-skalar k₁, k₂, k₃, …………., k_n tidak semuanya nol.

Contoh 3.10 :

Tentukan kebebasan linier vector-vektor :

1). S = {I, j, k}, dimana I = (1, 0, 0), j = (0, 1, 1), k = (0, 0, 1) pada R³.

2). S = {a, b, c} dimana a ( 2, -1, 0, 3), b = (1, 2, 5, -1), c = (7, -1, 5, 8) pada R³.

J a w a b :

1). k₁i + k₂j +k₃k =0

Jadi persamaan dipenuhi bila k₁= 0, k₂ = 0 dan k₃ = 0 sehingga S = {I, j, k} bebas linier.

Catatan : a). Himpunan vector s bebas linier jika system persamaan linier hanya

mempunyai penyelesaian trivial (nol).

b). Himpunan vector s bergantung linier jika system persamaan linier mempunyai

persamaan non trivial.

2). k₁ a + k₂ b +k₃ c = 0

Sehingga s bergantung linier, karena skalarnya (k) ada yang tidak sama dengan nol (0).

Theorema 3.4 :

Himpunan vector-vektor s dengan anggota dua vector atau lebih adalah bergantung linier bila dan hanya bila paling tidak satu diantara vector s dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari vector-vektor s lainnya.

Contoh 3.11 :

Buktikan S = {a, b, c} dengan a = (2, -1, 0, 3) ; b = (1, 2, 5 -1) ; c = (7, -1, 5, 8)

adalah bergantung linier.

B u k t i :

Nyatakan salah satu vector merupakan kombinasi linier lainnya.

Jadi s bergantung linier.

Contoh 3.12 :

Buktikan s = {i, j, k} dengan i = (1, 0, 0) ; j = (0, 1, 0) ; k = (0, 0, 1)

adalah tidak bergantung linier.

B u k t i :

Melihat persamaan ke-3 : I = 0, hal ini tidak mungkin sehingga tidak ada nilai k₁ dan k₂ yang memenuhi persamaan tersebut, jadi I, j, k tidak bergantung linier.

Theorema 3.5 :

1. Jika suatu himpunan vector mengandung sebaris vector nol maka himpunan tersebut pasti bergantung linier.
2. sebuah himpunan vector yang hanya terdiri dari dua vector akan bergantung linier bila dan hanya bila satu vector tersebut merupakan kelipatan vector lainnya.
3. Misal, s = {v₁, v₂, ………..,v_n} adalah himpunan vector-vektor pada Rⁿ sedemikian sehingga jika n <>

Contoh 3.13 :

Tentukan kebebasan vector berikut :

1). {(1, 3, 3), (0, 1, 4), (5, 6, 3), (7, 2, -1)}

2). {(3, 1, 1), (2, -1, 5), (4, 0, 3)

J a w a b :

1). Karena banyaknya persamaan lebih sedikit dari banyaknya variable maka vector

bergantung linier (T3).

2). Nampak bahwa banyaknya persamaan (baris) sama dengan banyaknya variable

(kolom).

Setelah dilakukan OBE terhadap matriks tersebut dihasilkan matrik identitas . Jadi kesimpulannya :

a. Matrik tersebut det. Tidak sama dengan nol.

b. Ketiga vector tersebutmempunyai invers (sehingga dapat dibalik)

c. Ketiga vector tersebut bebas linie

3.4 BASIS DAN DIMENSI

Definisi 3.11 :

Himpunan berhingga vector-vektor s = {v₁, v₂, …………….., v_n} diruang vector v disebut basis. Jika : 1. s bebas linier

2. s merentang v

Contoh 3.14 :

Buktikan s = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}merupakan basis R³.

B u k t i :

1). S bebas linier

k₁a + k₂b + k₃c = 0

dipenuhi hanya jika k₁ = k₂ = k₃ = 0 sehingga s = {a, b, c}bebas linier.

2). S merentang v : x = k₁i + k₂j + k₃k atau

Jadi k₁ = x₁; k₂ = x₂ dan k₃ = x₃ sehingga x = (x₁, x₂, x₃) = x₁i + x₂j + x₃k

Ini berarti v merentang R³ sehingga S = {I, j, k} basis R³

Secara umum :

Jika S = {l₁, l₂, l₃, ……………...,l_n}

dengan l₁ = {1, 0, 0, …………,0}

l₂ = {0, 1, 0, 0, ………,0}

l₃ = {0, 0, 1, 0, ………,0}

…………………………

l_n = {0, 0, 0, 0, ………,0}

maka S dikatakan basis natural/baku Rⁿ

Contoh 3.15 :

Buktikan S = {S₁, S₂, S₃} dengan S₁= (1, 2, 1), S₂ = (2, 9, 0) dan S₃ = (3, 3, 4) merupakan basis untuk R³.

B u k t i :

Untuk membuktikan S basis R³ akan ditunjukkan :

1. S bebas linier : k₁S₁ + k₂S₂ + k₃S₃ = 0 hanya dipenuhi bila k = 0

2. S merentang R³ : k₁S₁ + k₂S₂ + k₃S₃ = v untuk setiap v elemen R³.

Sehingga bentuk perkalian matriknya :

1. A.k = 0

2. A.k = v, dimana A =

Untuk mencari k maka dicari dahulu apakah A mempunyai invers dan untuk mengetahui apakah ada invers A dicari dahulu determinannya. Ternyata :

Det (A) = ( 1.9.4 + 2.3.1 + 2.3.0) – (1.9.3 + 0.3.1 + 4.2.2) = -1 (tdk sama dengan 0)

Jadi A mempunyai invers yaitu :

Sehingga :

1. A.k = 0 → k = A^-1. 0 = 0 Jadi S bebas linier

2. A.k = v → k = A^-1. v , untuk setiap v elemen R³, Jadi S merentang R³.

Kesimpulan dari 1 dan 2 : S basis R³.

Definisi 3.13:

1. Ruang vector tak nol √ dinamakan berdimensi berhingga jika ruang vector tersebut mempunyai sebuah himpunan berhingga {v₁, v₂, v₃, ……..,v_n} yang membentuk basis √.

2. Jika tidak ada himpunan berhingga yang membentuk basis √ maka ruang vector √ tersebut dinamakan berdimensi tak berhingga.

Teorema 3.6 :

1. Jika S = {S₁, S₂, S₃, ………..,S_n} adalah basis ruang vector √ maka himpunan vector-vektor S = {S₁, S₂, S₃, …………,S_n} adalah bergantung linier.

2. Sembarang dua basis untuk ruang vector yang dimensinya berhingga mempunyai dua vector yang sama.

Definisi 3.14 :

Dimensi Ruang vector √ adalah banyaknya vector-vektor pada basis ruang vector √ tersebut.

Contoh 3.16 :

Tentukan basis dan dimensi untuk ruang penyelesaian sistem persamaan linier berikut :

1). x – 3y + z = 0 2). x + y – z =0

2x – 6y + 2z = 0 -2x – y +2z = 0

3x – 9y + 3z = 0 -x + z = 0

J a w a b :

1).

x – 3y + z = 0

x = 3y + z

Misal : y = t, z = s, maka x = 3t –s, sehingga

Jadi basisnya : (3, 1, 0) dan (-1, 0, 1) dan dimensinya : 2

2).

Setelah dilakukan OBE diperoleh : y = 0

-x + z = 0

z = x

Misal, z = t, maka,

Jadi basisnya = (1, 0, 1) dan dimensinya = 1

3.5 R A N K

Definisi 3.15 :

maka :

1). r₁ = ( a₁₁, a₁₂, a₁₃, ………..,a_1n)

r₂ = ( a₂₁, a₂₂, a₂₃, ………..,a_2n)

r₃ = (a₃₁, a₃₂, a₃₃, ………...,a_3n)

.

.

r_m = (a_m1, a_m2, a_m3, ……….,a_mn)

Disebut vector-vektor baris A dari sub ruang Rⁿ yang direntang oleh vector-vektor baris tersebut dinamakan ruang baris A.

2). C₁

Disebut vector-vektor kolom A dari sub ruang Rⁿ yang direntang oleh vector-vektor kolom tersebut dinamakan ruang kolom A.

Theorema 3.7 :

1. OBE tidak mengubah ruang baris.
2. Vektor-vektor baris tak nol berbentuk eselon baris dari matrik A membentuk basis untuk ruang baris A.

Contoh 3.17 :

Carilah basis untuk ruang baris dan ruang kolom matriks berikut :

J a w a b :

Vektor-vektor baris matriks A : r₁ = (1, 2, -1)

r₂ = (2, 4, 6)

r₃ = (0, 0, -8)

Sehingga vector-vektor ruang baris matriks A adalah

kemudian matrik ini direduksi kebentuk eselon baris sabagai berikut:

Kesimpulan :

Dimensi ruang baris A adalah 2

Basis ruang baris A = (1, 2, 0) dan (0, 0,1)

Vektor-vektor kolom matriks A :

sehingga vector-vektor ruang kolom A :

Kemudian matriks ini direduksi ke bentuk eselon baris sebagai berikut:

Jadi basis ruang kolom A adalah (1, 2, 0) dan (0, 1, -1). Dimensi ruang kolom A adalah 2.

Theorema 3.8 :

Jika A adalah sembarang matriks, maka ruang baris dan ruang kolom A mempunyai dimensi yang sama.

Definisi 3.16 :

Dimensi ruang baris dan ruang kolom matriks A dinamakan Rank A dan dinyatakan dengan r(A).

Jadi pada contoh diatas r(A) = 2.

Theorema 3.9 :

Jika A adalah matriks berukuran (nxn) maka pernyataan-pernyataan berikut ekivalen satu sama lain.

a). A dapat dibalik.

b). Ax= 0, hanya mempunyai penyelesaian trivial.

c). A equivalent baris dengan I_n.

d). Ax = b, konsisten untuk tiap-tiap matrik b(nx1).

e). det (A) ≠ 0.

f). A mempunyai rank n.

g). vector-vektor baris dan kolom bebas linier.

Contoh 3.18 :

Tentikan rank dari matriks berikut ini :

J a w a b :

Dari kolom :

Jadi dimensi ruang kolommatriks diatas adalah 2.

Sehingga rank matriks diatas adalah 2 atau r(A) = 2.

Theorema 3.10 :

Sebuah system persamaan linier Ax = b akan konsisiten bila dan hanya bila rank matriks koefisien A = rank matriks diperbesar [A│b]

Contoh 3. 19 :

Selesaikan Sistem persamaan linier berikut ini :

1). 3x – y + z = 0 2). x + 2y -3z = 6

2x + 2y – z = 2 2x – y + 4z = 2

5x + 2y = 1 4x + 3y – 2z = 14

J a w a b :

1).

Jadi r(A) = 2 dan r(A│b) = 3

Karena r(A) ≠ r(A│b) maka SPL ini tidak konsisten.

2).

Jadi r(A) = 2 dan R(A│b) = 2

Karena r(A) = r(A│b) = 2 maka SPL ini konsisten.

Theorema 3.11 :

Jika Ax = b adalah SPL yang konsisten dari m persamaan dengan n bilangan tak diketahui dan jika A mempunyai rank r maka penyelesaian SPL tersebut mempunyai (n-r) parameter.

Contoh 3.20 :

x + 2y – 3z = 6

2x – y + 4z = 2

4x + 3y – 2z = 14

setelah dilakukan OBE dihasilkan (seperti pada contoh sebelumnya) =

Jadi r(A) = 2 dan r(A│b) = 2, sesuai dengan theorema maka diketahui n = 3 dan r = 2 sehingga (n-r) = 3 -2 = 1 parameter

ambil z = t

i) -y + 2z = -2

y = 2z + 2

y = 2t + 2

ii) x + 2y – 3z = 6

x = 6 + 3z – 2y

= 6 + 3t -2 (2t + 2)

= 6 + 3t – 4t -4

x = 2 – t

Jadi,

3.6 RUANG HASIL KALI DALAM (INNER PRODUCT SPACE)

Telah kita ketahui bahwa hasil kali dalam Euclides pada Rⁿ

adalah : u.v = u₁v₁+u₂v₂+……………..+u_nv_n dimana

u = (u₁, u₂, u₃,…………..,u_n) dan

v = (v₁, v₂, v₃,……………….,v_n)

Definisi 3.17 :

Jika : u = (u₁, u₂, u₃,…………..,u_n) dan v = (v₁, v₂, v₃,……………….,v_n)

adalah vector-vektor pada Rⁿ maka = u.v = u₁v₁+u₂v₂+………….+u_nv_n disebut juga hasil kali dalam euclides pada Rⁿ.

Definisi 3.18 :

Jika u, v, w Є √ dan k suatu scalar maka √ disebut ruang hasil kali dalam riil apabila memenuhi aksioma-aksioma berikut :

1. ‹u,v› = ‹v,u›

2. ‹u + v,w› = ‹u,w› + ‹v,w›

3. ‹ku,v› = k‹u,v›

4. ‹u,u› ≥ 0

5. ‹v,v› = 0, bhb v = 0

Contoh 3.21 :

1). Jika u, v, w Є ruang hasil kali dalam √ dengan u = (2,-1), v = (-1,3), w = (0,-5) dan

k = -3 maka buktikan : ‹u + v› = ‹u,w› + ‹v,w›

2). Jika maka tentukan u dan v

J a w a b :

1). Bukti :

‹u + v , w› = ‹u,w› + ‹v,w› = (2,-1) 0 + (-1,3) -5 = {2.0 + -1.-5} + {-1.0 + 3.-5)

= 0 + 5 – 15 = 0 + 5 + 0 – 15

= -10 = -10

Jadi ‹u + v, w› = ‹u,w› + ‹v,w› terbukti.

2). u .w = {2.0 + (-1).4 +3.2 + 7.2}

= 0 – 4 + 6 + 14 = 16

Definisi 3.19 :

Jika u,v Є ruang hasil kali dalam √ maka :

1. Norma vector u = ║u║ =
2. Jarak antara vector u dan v. d (u,v) =

Contoh 3.22 :

Jika u = (4, 3, 1, -2), v = (-2, 1, 2, 3) maka : a). Tentukan norma u dan v

b). Jarak antara vector u dan v.

J a w a b :

a). ║u║ =

= (4.4 +3.3 + 1.1 + (-2)(-2))^1/2

= (16 + 9 + 1 + 4)^1/2

= (30)^1/2 = √30

║v║ = ‹v,v›^1/2

= (-2.-2 + 1.1 + 2.2 + 3.3 )^1/2

= (4 + 1 + 4 + 9)^1/2

= (18)^1/2 = √18 = 3√2

b). ║u-v║

Theorema 3.12 :

Jika √ adalah ruang hasil kali dalam maka sifat-sifat berikut memenuhi norma ║u║ = ‹u,u›^1/2 dan jarak d(u,v) = ‹u-v, u-v›^1/2 =║u,v║

	Panjang	Jarak
1. 2. 3. 4.	║u║≥ 0 ║u║ = 0, bhb u = 0 ║ku║= │k│.║u║ ║u + v║ ≤ ║u║ + ║v║	d(u,v) ≥ 0 d ( u,v ) = d ( v,u ) d ( u,v ) = d ( v,u) d ( u,v ) ≤ d (u,w) + d ( w,v )

Definisi 3.20 :

Sudut antara dua vector u dan v denyatakan sebagai cos θ

Dari definisi diatas maka jika sudut antara vector u dan v adalah 90 ⁰ (л/2) maka berarti

sehingga : 1. Himpunan vector-vektor √ disebut orthogonal jika ‹ u,v › = 0, untuk setiap

u,v Є √.

2. Jika √ himpunan vector-vektor dalam Rⁿ dan u anggota Rⁿ maka u orthogonal dengan √ bila ‹ u,v › = 0 untuk setiap v Є √.

Contoh 3.23 :

1). Cari cosinus sudut antara u = (1, 0, 1, 0) dan v = ( -3, -3, -3, -3)

2). Tentukan k agar u = ( 2, 1, 3) orthogonal terhadap v = ( 1, 7, k) dalam R³.

3). Tentukan himpunan vector-vektor yang orthogonal terhadap vector u = (1,2) dlm R².

J a w a b :

1). ‹ u, v › = u.v = ( 1.-3 + 0.-3 + 1.-3 + 0.-3) = -6

║u║= ( 1.1 + 0.0 + 1.1 + 0.0 )^1/2 = ( 2 )^1/2 = √2

║v║ = ( -3.-3 + (-3)-3 + (-3) -3 + (-3)-3)^1/2 = ( 9 + 9 + 9 + 9)^1/2 =√36 = 6

2). u = ( 2, 1, 3), v = ( 1, 7, k )

k = …….? Agar u orthogonal terhadap v

‹ u, v › = 0

( 2.1 + 1.7 + 3.k ) = 0

9 + 3k = 0 à Jadi k = - 9/3 = -3

3). Misal, v = (v₁, v₂ ) orthogonal dengan u = ( 1,2 ) maka :

‹v, u › = 0

( v₁ + 2v₂ ) = 0 à v₁ = -2v₂

v₂ sembarang

Grafiknya :

y

Sehingga himpunan vector-vektor yang orthogonal terhadap vector u adalah semua titik sepanjang garis yang melalui v ( -2, 1 ).

3.7 BASIS ORTHONORMAL

Definisi 3.21 :

Vektor satuan searah u adalah

Catatan : Vektor satuan normanya = 1

Definisi 3.22

Suatu himpunan vector-vektor orthogonal yang normanya = 1 dinamakan vector-vektor orthonormal. Dengan perkataan lain u dan v orthonormal bhb :

1. ‹ u ,v › = 0
2. ║u║= 1 dan ║v║=1

Contoh 3.24 :

Buktikan S = {s₁, s₂, s₃ } dimana s₁ = ( 0, 1, 0 ), s₂ = (), s₃ = () adalah vector-vektor orthonormal dalam R³.

J a w a b :

· ‹ s₁, s₂ › = . Jadi ‹ s₁,s₂ › = 0

· ‹ s₁, s₃ › = . Jadi ‹ s₁, s₃› =0

· ‹ s₂, s₃ › = . Jadi ‹ s₁, s₂ › = 0

║s₁║= ‹ s₁, s₂ ›^1/2 = ( 0.0 + 1.1 + 0.0 ) ^½ = ( 1 ) ^½ =1

║s₂║= ‹ s₂, s₂ ›^1/2 =

=

║s₃║= ‹ s₁, s₁ ›^1/2 =

=

Jadi s = {s₁, s₂, s₃ } orthonormal dalam R³.

Theorema 3.13 :

Jika s = {s₁, s₂,…………..,s_n } adalah basis orthonormal untuk ruang hasil kali dalam √ dan u adalah sembarang vector dalam √ maka u dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari vector-vektor dalam s sbb :

U = ‹ u, s₁ › s₁ + ‹ u, s₂ › s₂ + ……………… + ‹ u, s_n › s_n dimana ‹ u, s₁› = ki, diasumsikan sebagai scalar skalarnya dan I berjalan dari 1 sampai n.

Contoh 3.25 :

Jika s = {s₁, s₂, s₃} dengan s₁ = ( 0, 1 0 ), s₂ = , s₃ = adalah basis orthonormal untuk R³ maka nyatakan u = (1, 1, 1) sebagai kombinasi linier vector-vektor s.

J a w a b :

u =

Theorema 3.14 :

Jika s = {s₁, s₂, s₃ } adalah himpunan vector-vektor orthogonal tak nol dalam ruang hasil kali dalam maka s bebas linier.

Theorema 3.15 :

Setiap ruang hasil kali dalam berdimensi berhingga yang tak nol mempunyai sebuah basis orthonormal.

Keterangan : Himpunan sembarang vector-vektor basis { x₁, x₂, ….x_n } dari ruang hasil kali

dalam √ dapat diubah menjadi himpunan vector-vektor basis ( e₁, e₂,.,..e_n ) yang

orthonormal dalam √ dengan proses orthogonalisasi dari Gram-Schmidt.

Langkah-langkah Orthogonalisasi Grum-Schmidt

1. Dari vector x₁, kita bias menadapatkan vector satuannya yang searah dengan x₁ yaitu
2. Kita bentuk e₂ ┴ e₁, dimana e₂ adalah vector satuan yang searah dengan w₂ yang dibangun oleh vector e₁ dan x₂.

Jadi w₂ ┴ e₁ atau ‹ w₂, e₁ › = 0 karena w₂ dibangun oleh e₁ dan x₂ maka w₂ =

α x₂ + γ e₁. α, γ skalar

Dari

3. Kita bentuk e₃ ┴ e₁ dan e₂ dimana e₃ adalah vector satuan yang searah dengan w₃ yang dibangun oleh e₁, e₂ dan x₃. Jadi w₃ ┴ e₁ dan w₂ ┴ e₂ atau ‹ w₃, e₁› = 0 dan ‹ w₃, e₂ › = 0. Karena w₂ dibangun oleh e₁, e₂ dan x₃ maka w₃ = α e₁ + β e₂ + δ x₃ dari

Dari ‹ w₃, e₂ › = 0

Rumus secara umum : Wn = xn - ‹ xn, e1 › e1- ‹ xn, e2 › e2 ……………….- ‹xn, en-1› en-1

Kesimpulan : Himpunan vector-vektor orthonormal adalah {e_1, e₂, …………..,e_n } atau

dimana w₁, w₂, w₃, ………,w_n dibangun oleh basis.

Contoh 3.26 :

Tentukan vector-vektor orthonormal yang dibentuk dari basis-basis :

1. {u₁, u₂ } dengan u₁= ( 1, -3 ), u₂ = ( 2, 2 )

b.{u₁, u₂, u₃ } dengan u₁= ( 1, 1, 1 ), u₂ = ( -1, 1, 0 ) dan u₃ = ( 1, 2, 1 )

J a w a b :

a)

b)

3.8 PERUBAHAN BASIS

Jika s = {s₁, s₂, s₃, ……………..,s_n} adalah basis untuk ruang vector √ sedang sehingga untuk setiap v є √ dapat dinyatakan dalam bentuk v = k₁s₁ + k₂s₂ +…………..+ k_ns_n maka k₁, k₂, ………………..,k_n dinamakan koordinat v relative terhadap basis s dan dinyatakan sebagai berikut :

( v )_S = ( k₁, k₂, k₃, ………….,k_n)

Contoh 3.27 :

Pada contoh yang lalu S = { S₁, S₂, S₃ } dengan S₁ = ( 1, 2, 1 ) S₂ = ( 2, 9, 0 ) S₃ = ( 3, 3, 4 ) telah terbukti merupakan basis untuk R³.

a). Tentukan vector koordinat dan matriks koordinat dari v = ( 5, -1, 9 ) relative

terhadap basis S.

b). Tentukan v є R³ yang vector koordinatnya relative terhadap basis S adalah (-1, 3, 2)

J a w a b :

S = {(1, 2, 1), (2, 9, 0), (3, 3, 4)} dan v = ( 5, -1 9 )

a). v = k₁ S₁ + k₂ S₂ + k₃ S₃ ↔

Sehingga bentuk matriknya :

Dan dapat diselesaikan dengan eliminasi Gauss- Jordan sbb:

Sehingga, (v)_S = ( 1, -1, 2 )

b). (v)_S = ( -1, 3, 2 ) maka : v = -1.s₁ + 3.s₂ + 2.s₃

= -1 ( 1, 2, 1 ) + 3 ( 2, 9, 0 ) + 2 ( 3, 3, 4 ) = ( 11, 31, 7 )

Jika S = { S₁, S₂, S₃, ……………., S_n } adalah basis orthonormal untung ruang hasil kali dalam √ maka menurut teorema sebelumnya untuk v є √ dapat dinyatakan sebagai :

v = ‹ v, s₁ › s₁ + ‹v, s₂ › s₂ + ……………….+ ‹ v, s_n › s_n hal ini berarti :

Contoh 3.28 :

Jika S = { S₁, S₂, S₃ } dengan S₁ = ( 0, 1, 0 ), S₂ = ( -4/5, 0, 3/5 ), S₃ = ( 3/5, 0, 4/5 ) adalah basis orthonormal untuk R³ dengan hasil kali dalam euclidis maka nyatakan v = ( 2, -1, 4 ) relative terhadap basis orthonormal S.

J a w a b :

Jika B₁ = { U₁, U₂, ……………….,U_n } merupakan basis lama dan B₂ = { U₁, U₂, ………..Un } merupakan basis baru dan misalkan matrik koordinat untuk vector basis baru relative terhadap vector basis lama adalah :

Misal v є √ dan adalah matriks koordinat yang baru, maka :

Dengan demikian matrik koordinat lama untuk v adalah :

’

Persamaan tersebut menyatakan bahwa matriks koordinat lama dapat diperoleh dengan mengalikan matriks koordinat baru dari sebelah kiri matriks P yang kolom-kolomnya adalah koordinat dari vector-vektor basis baru yang relative terhadap basis lama.

Jadi kesimpulannya :

dimana P adalah matriks translasi dari basis B’ ke B.

Contoh 3.29 :

Diketahui : B = { U₁, U₂ } dengan U₁ = ( 2, 2 ), U₂ = (4, -1 )

B’ = { V₁, V₂ } dengan V₁ = (1, 3 ), V₂ = (-1, -1 )

a. Carilah matriks transisi dari B’ ke B

b. Tentukan

J a w a b :

a). v₁ = aU₁ + bU₂

v₂ = cU₁ + dU₂

Merupakan matrik transisi dari B’ ke B

b).

Teorema 3.16 :

Jika P adalah matrik transisi dari B’ ke B maka :

a). Matriks P dapat dibalik

b). P^-1 adalah matriks transisi dari basis B ke B’.

Contoh 3.30 :

Diketahui basis B = { u₁, u₂ } dengan u₁ = (2, 2) dan u₂ = (4, -1 )

B’ = { v₁, v₂ } dengan v₁ = ( 1, 3 ) dan v₂ = (-1, -1 ),

sedangkan matriks transisi dari basis B’ ke B adalah

Tentukanlah vector

J a w a b :

Dari , maka

Dari persamaan :,

Teorema 3.17 :

Jika p adalah matriks transisi dari suatu basis orthonormal ke basis orthonormal yang lain untuk suatu ruang hasil kali dalam maka P^-1 = P^t.

Definisi 3.23 :

Suatu matriks kuadrat A yang mempunyai sifat A^-1 = A^t disebut matriks orthogonal.

Teorema 3.18 :

Pernyataan berikut adalah ekuivalen satu dengan yang lainnya :

a) A adalah matriks orthogonal.

b) Vektor-vektor baris dan kolom dari matriks A membentuk himpunan orthonormal Rⁿ dengan hasil kali dalam Euclidis.

Contoh 3.31 :

maka vector-vektor baris matriks A adalah :

Nampak bahwa :

Jadi vector-vektor baris matriks A membentuk himpunan orthonormal pada R³. Maka A merupakan orthonormal dan A^-1 = A^t, yaitu :

Nilai seorang manusia itu ditetapkan dari keberaniannya memikul tanggung jawab dan mencintai hidup dengan kerja yang akan membawanya kepada kegairahan hidup yang paling tersembunyi (Gibran).